Πλένουμε καλά τις μελιτζάνες. Τις κόβουμε στη μέση και αφαιρούμε την ψίχα αφήνοντας το γύρω τοίχωμα σε πάχος περίπου 2 εκ. Την ψίχα που αφαιρούμε την κρατάμε.

Βάζουμε τον κιμά, το κρεμμύδι και το σκόρδο σε κατσαρόλα σε μέτρια φωτιά και ανακατεύουμε για να τσιγαρίσουμε τον κιμά. Προσθέτουμε το λάδι και σοτάρουμε για 5-6 λεπτά, μέχρι να πάρει λίγο χρώμα. Προσθέτουμε το τριμμένο καρότο, τη ζάχαρη, αλάτι, πιπέρι και τον πελτέ διαλυμένο σε μισό ποτήρι νερό. Σιγοβράζουμε το μίγμα για 10 λεπτά περίπου, μέχρι να δέσει η σάλτσα. Όταν γίνει ο κιμάς, αποσύρουμε την κατσαρόλα από τη φωτιά και περιμένουμε για 10 λεπτά πριν βάλουμε μέσα την τριμμένη φέτα. Ανακατεύουμε καλά. Στη συνέχεια παίρνουμε μία μία τις μελιτζάνες και τις γεμίζουμε με το μίγμα, αφήνοντας λίγο περιθώριο από το άνοιγμα, και τις τοποθετούμε στην γάστρα μαζί με την ψίχα από τις μελιτζάνες που είχαμε κρατήσει. Ετοιμάζουμε την μπεσαμέλ, λιώνοντας το βούτυρο σε μικρή κατσαρόλα. Προσθέτουμε λίγο λίγο το αλεύρι ενώ ανακατεύουμε με το σύρμα συνεχώς για να πάρει χρώμα χωρίς να καεί. Όταν το βούτυρο έχει γίνει ένα με το αλεύρι, σβήνουμε τη φωτιά και αποσύρουμε το κατσαρολάκι. Προσθέτουμε το γιαούρτι, τα αυγά, τριμμένο μοσχοκάρυδο και ανακατεύουμε καλά. Στο τέλος, προσθέτουμε και την τριμμένη φέτα. Στρώνουμε την μπεσαμέλ πάνω από τις μελιτζάνες και πασπαλίζουμε με λίγο ακόμα μοσχοκάρυδο και ψιλοκομμένο μαϊντανό. Ρίχνουμε από πάνω ελαιόλαδο και μισό κουταλάκι του γλυκού τοματοπελτέ διαλυμένο σε μισό ποτήρι νερό και ψήνουμε στο φούρνο για 30’ λεπτά μέχρι να πάρει χρώμα η επιφάνεια της μπεσαμέλ και μαλακώσουν οι μελιτζάνες μας. Σερβίρουμε είτε ζεστές είτε χλιαρές, αφού τις πασπαλίσουμε με φρεσκοτριμμένο πιπέρι.