Ζεσταίνουμε 2 κ.σ. ελαιόλαδο σε ένα μεγάλο τηγάνι σε μέτρια φωτιά. Προσθέτουμε το ψιλοκομμένο ελαιόλαδο μέχρι να μαλακώσει.

Προσθέτουμε τα μανιτάρια, το τριμμένο καρότο, το θυμάρι και αλάτι και τα σωτάρουμε για 5-6 λεπτά μέχρι να μαλακώσουν τα μανιτάρια και να έχουν απορροφήσει τα υγρά τους και έπειτα τα αφήνουμε στην άκρη να κρυώσουν. Σε ένα δοχείο ανάμειξης βάζουμε τα αυγά και τα χτυπάμε με το σύρμα. Προσθέτουμε το κατσικίσιο γιαούρτι και το ελαιόλαδο και ανακατεύουμε ξανά. Συνεχίζουμε με τα λαχανικά, τα οποία προσθέτουμε αφού κρυώσουν και ανακατεύουμε με μία σπάτουλα. Τέλος, προσθέτουμε το αλεύρι, το μπέικιν, φρεσκοτριμμένο πιπέρι και έξτρα αλάτι, αν θέλουμε και για παιδιά άνω του έτους, ανακατεύουμε το μείγμα με τη σπάτουλα. Θρυματίζουμε τη φέτα στο μείγμα και ανακατεύουμε ξανά. Μεταφέρουμε το μείγμα σε ένα πυρίμαχο ταψάκι στο οποίο έχουμε απλώσει λαδόκολλα. Ψήνουμε για 30 λεπτά στους 190°C στις αντιστάσεις, σε προθερμασμένο φούρνο.