Σε ένα μεγάλο μπολ ρίχνουμε τη μισή ποσότητα από το ζεστό νερό (150 ml) και μέσα του διαλύουμε τη ζάχαρη και τη μαγιά. Προσθέτουμε 4- 5 ΚΣ από το αλεύρι δημιουργώντας ένα ελαφρύ κουρκούτι, το σκεπάζουμε και αφήνουμε σε ζεστό σημείο για 10 – 15 λεπτά να ενεργοποιηθεί η μαγιά (το μείγμα θα βγάλει φουσκάλες στην επιφάνεια). Συνεχίζουμε προσθέτοντας το υπόλοιπο ζεστό νερό και το ελαιόλαδο. Αφού αναμείξουμε στο αλεύρι το αλάτι και τη ρίγανη, το προσθέτουμε σταδιακά στο μείγμα του μπολ ανακατεύοντας μέχρι να γίνει μια ζύμη μαλακή, ελαστική χωρίς να κολλάει στα χέρια. Σκεπάζουμε τη ζύμη με μεμβράνη ή πετσέτα κουζίνας και την αφήνουμε σε ζεστό σημείο (ή στον φούρνο που έχω προθερμάνει στους 30*C και έχω κλείσει) για 1 – 1,5 ώρα μέχρι να διπλασιάσει τον όγκο της.

Αφού έχει φουσκώσει η ζύμη, την βγάζουμε σε αλευρωμένη επιφάνεια και την χωρίζουμε σε τέσσερα όμοια μέρη. Παίρνουμε το ένα και το ανοίγουμε με τον πλάστη σε λεπτό, οβάλ σχήμα. Κατά μήκος των δύο πλευρών της βάζουμε από 50 γρ φέτα ΔΩΔΩΝΗ κομμένα σε μπαστουνάκια. Αλείφουμε με λίγο νερό και σκεπάζουμε τη φέτα στο γείσο της ζύμης δημιουργώντας τα τοιχία του πεϊνιρλί. Στο πάνω και κάτω άκρο γυρίζουμε σπειροειδώς τη ζύμη να κλείσει. Τοποθετούμε στη μέση της βάρκας από ζύμη μια φέτα τυρί ΔΩΔΩΝΗ ΤουΤοστ και κόβουμε άλλη μια στη μέση γεμίζοντας την υπόλοιπη ζύμη εσωτερικά. Ραντίζουμε με άφθονο τριμμένο ανάμεικτο τυρί ΔΩΔΩΝΗ περίπου 50 γρ και μια πρέζα ρίγανη από πάνω. Όμοια φτιάχνουμε και τα υπόλοιπα. Αλείφουμε το γείσο της ζύμης με λίγο αυγό που έχουμε αναμείξει με 1 ΚΣ νερό, σκεπάζουμε και αφήνουμε για 20 λεπτά. Ψήνουμε σε προθερμασμένο φούρνο στους 200*C για 20 – 25 λεπτά, μόλις χρυσίσει η ζύμη βγάζουμε από το φούρνο. Σερβίρονται αμέσως ζεστά.