Για τη ζύμη ενώνω σε ένα μπολ το αλεύρι με το μπέικιν πάουντερ και το αλάτι. Ρίχνω σταδιακά το κρύο βούτυρο ΔΩΔΩΝΗ αγελάδος σε κυβάκια και με τα δάχτυλα το πιέζω να ενσωματωθεί με το αλεύρι και να γίνει μια θρυπτή ζύμη. Προσθέτω το αυγό και λίγο-λίγο το νερό μέχρι να δέσει σε ζύμη. Την κλείνω σε μεμβράνη και τη βάζω στο ψυγείο για 1 ώρα. Βάζω το τηγάνι σε μέτρια ένταση καβουρδίζοντας τα κουκουνάρια, ανακατεύοντας τα διαρκώς μέχρι να πάρουν απαλό καστανό χρώμα. Όταν αρχίσουν αν μυρίζουν τα βγάζω από το σκεύος. Στο ίδιο τηγάνι δυναμώνω την ένταση, ζεσταίνω 1 κ.σ. ελαιόλαδο και σοτάρω τα κρεμμύδια, φρέσκα και ξερά μέχρι να γίνουν διάφανα. Σβήνω με το μπαλσάμικο και τα αφήνω να καραμελώσουν για 20 λεπτά. Τα βγάζω να κρυώσουν.

Κόβω τα παντζάρια σε κυβάκια, τα μεταφέρω σε ένα μπολ και προσθέτω τα κρεμμύδια, τα κουκουνάρια, το θυμάρι, τη ρίγανη, το αλάτι, το πιπέρι ανακατεύοντας καλά. Τέλος θρυμματίζω την μισή ποσότητα της φέτας ΔΩΔΩΝΗ στη γέμιση και ανακατεύω. Βγάζω τη ζύμη από το ψυγείο, παίρνω τα ¾ αυτής και την ανοίγω με τον πλάστη ανάμεσα σε δύο λαδόκολλες. Τη μεταφέρω στη φόρμα 30x20 εκ, την πιέζω να κολλήσει καλά στη βάση, στις γωνίες και στα τοιχώματα. Κόβω όση περισσεύει από αυτά και την κρατάω. Απλώνω τη γέμιση στο εσωτερικό της και θρυμματίζω την υπόλοιπη φέτα ΔΩΔΩΝΗ από πάνω πιέζοντας τα κομμάτια με ένα κουτάλι να μην προεξέχουν. Ανοίγω με τον ίδιο τρόπο το υπόλοιπο ¼ του φύλλου και το κόβω σε λωρίδες που τοποθετώ διαγώνια στην πίτα. Αλείφω τη ζύμη με ένα χτυπημένο αυγό με 1 κ.σ νερό και την ψήνω σε προθερμασμένο φούρνο, στις αντιστάσεις, στη μεσαία σχάρα, στους 180°C για μια ώρα περίπου.