Πλένουμε καλά το κοτόπουλο και το κόβουμε σε δύο κομμάτια. Το βράζουμε σε αλατισμένο νερό για 20 λεπτά. Αφαιρούμε από την κατσαρόλα και αφήνουμε να κρυώσει. Το “τραβάμε” ή το κόβουμε κατά μήκος σε λεπτά κομμάτια. Πλένουμε τις πιπεριές και τις κόβουμε σε λεπτές λωρίδες. Ψιλοκόβουμε το κρεμμύδι. Τρίβουμε στον τρίφτη τα τυριά.

Σε ένα τηγάνι σωτάρουμε το κρεμμύδι σε ελαιόλαδο. Πασπαλίζουμε με αλάτι, πιπέρι και πάπρικα. Προσθέτουμε τις πιπεριές και σωτάρουμε. Χαμηλώνουμε τη φωτιά και αφήνουμε τις πιπεριές μέχρι να μαλακώσουν. Προσθέτουμε το κοτόπουλο και ανακατεύουμε. Σε ένα αντικολλητικό τηγάνι, ψήνουμε τη μία πίτα κι από τις δύο πλευρές. Αφαιρούμε και βάζουμε τη δεύτερη πίτα να ψηθεί από τη μία πλευρά. Γυρνάμε την πίτα και πασπαλίζουμε με λίγο τυρί, προσθέτουμε τη μισή γέμιση και ξανά τυρί. Μόλις το τυρί αρχίσει να λιώνει βάζουμε από πάνω την πίτα που ψήσαμε. Με τη βοήθεια ενός πιάτου, αναποδογυρίζουμε την quesadilla σε ένα άλλο πιάτο και κόβουμε σε τέσσερα κομμάτια. Επαναλαμβάνουμε με τις άλλες δύο άψητες πίτες την ίδια διαδικασία. Σερβίρουμε με φρέσκια ρόκα.