Σκουπίζουμε καλά τα μανιτάρια με χαρτί κουζίνας και αφαιρούμε το κοτσάνι. Στρώνουμε λαδόκολλα σε ένα ταψί και βάζουμε τα μανιτάρια με το εσωτερικό τους μέρος προς τα κάτω, πάνω στη λαδόκολλα.

Αλείφουμε το πάνω μέρος τους με ελάχιστο λάδι και πασπαλίζουμε με σουσάμι (με το λάδι κολλάει το σουσάμι πάνω στο μανιτάρι). Τα ψήνουμε στο φούρνο για περίπου 20’ (ανάλογα το μέγεθος των μανιταριών) μέχρι να μαλακώσουν και να πάρουν λίγο χρώμα. Κόβουμε το χαλλούμι κατά μήκος σε μεγάλα αλλά λεπτά, παραλληλόγραμμα κομμάτια και το ψήνουμε σε μία γκριλιέρα ή ένα απλό, αντικολλητικό τηγάνι μέχρι να ροδίσουν και οι δύο πλευρές του. Μόλις βγάλουμε τα μανιτάρια από το φούρνο, στήνουμε το burger βάζοντας ένα μανιτάρι στη βάση, μουστάρδα, μία λεπτή στρογγυλή φέτα κρεμμύδι, το κομμάτι χαλλουμιού, ketchup (προαιρετικά) και καπακώνουμε με ακόμα ένα μανιτάρι. Στερεώνουμε το burger με ένα ξύλινο καλαμάκι που έχουμε κόψει στα δύο. Για τα sticks καρότου Σε ένα μεγάλο μπολ, στύβουμε το λεμόνι και προσθέτουμε αλάτι, πιπέρι καγιέν (ανάλογα πόσο καυτερές τις θέλουμε) και λίγο αλάτι. Κόβουμε τα καρότα σε λεπτές λωρίδες (ζουλιέν) και τα ρίχνουμε στη μαρινάδα που έχουμε ετοιμάσει. Ανακατεύουμε καλά και τα αφήνουμε για 15’ λεπτά μέσα στη μαρινάδα. Στη συνέχεια τα ρίχνουμε σε ένα ταψάκι στο οποίο έχουμε στρώσει μία λαδόκολλα και ψήνουμε στους 180C για περίπου 15-20’. Σερβίρουμε το burger μαζί με τα sticks καρότου, πασπαλίζοντάς με λίγο σουσάμι (προαιρετικά).