Ξεκινάμε τον κιμά βάζοντας τον σε ενα μπωλ. Ψιλοκόβουμε τις λιαστές ντομάτες και το κρεμμύδι. Λιώνουμε σε ένα κατσαρολάκι βούτυρο και το αφήνουμε να κρυώσει ελαφρώς. Έπειτα ρίχνουμε μέσα στον κιμά τις λιαστές ντομάτες, το λάδι από τις λιαστές, το κρεμμυδι, την ρίγανη, την 1 κ.σ ηλιέλαιο, το αλάτι και το πιπέρι. Βάζουμε τον κιμά στο ψυγείο για 30 λεπτά περίπου και συνεχίζουμε με την υπόλοιπη διαδικασία.

Σε ένα μπωλ ρίχνουμε το γιαούρτι, την μαγιονέζα, το χυμό λεμονιού, τον ψιλοκομμένο φρέσκο βασιλικό, αλάτι, πιπέρι και ανακατεύουμε. Αλείφουμε ένα τηγάνι με βούτυρο, κόβουμε τα μπριός μας στη μέση και τα τοστάρουμε μέχρι να πάρουν ένα ωραίο χρώμα. Έπειτα κόβουμε το χαλούμι ΔΩΔΩΝΗ σε φέτες, ρίχνουμε ελάχιστο ηλιέλαιο στο τηγάνι και τα ψήνουμε και από τις δύο πλευρές μέχρι να πάρουν ένα εξίσου ωραίο χρώμα. Τέλος, ψήνουμε τα μπιφτέκια κοτόπουλο (τα οποία τα κάνουμε όσα γραμμάρια θέλουμε), περίπου 3 με 4 λεπτά την πλευρά ελέγχοντας φυσικά αν έχει ψηθεί. Στήνουμε βάζοντας σως ,το μπιφτέκι κοτόπουλο ,έπειτα τις φέτες από το χαλούμι ,ντομάτα, λόλα πράσινη και κλείνουμε με το πάνω καπάκι.