Προθερμαίνουμε το φούρνο, στις αντιστάσεις, στους 170 βαθμούς.
Λιώνουμε σε μικρή κατσαρόλα το βούτυρο κομμένο σε κομμάτια, σε μέτρια φωτιά ή σε ένα μπολ στο φούρνο μικροκυμάτων στα 800 – 850 W για 2’.
Βάζουμε σε μέτρια κατσαρόλα, το γάλα και τη ζάχαρη σε μέτρια προς δυνατή φωτιά, τα ανακατεύουμε με ένα σύρμα χειρός και τα αφήνουμε να πάρουν μια βράση.
Χαμηλώνουμε τη φωτιά, ρίχνουμε το σιμιγδάλι και ανακατεύουμε με γρήγορες κινήσεις. Προσθέτουμε ένα – ένα τα αυγά καθώς ανακατεύουμε μέχρι να ομογενοποιηθούν μεταξύ τους τα υλικά και να έχουμε μια παχύρευστη κρέμα.
Αφαιρούμε τη κατσαρόλα από τη φωτιά και αφήνουμε να κρυώσει το μείγμα για 5’.
Προσθέτουμε το γιαούρτι το εκχύλισμα βανίλιας και ανακατεύουμε μέχρι να ομογενοποιηθούν.
Βουτυρώνουμε με ένα πινέλο το ταψί(33*40).
Παίρνουμε 2 από τα φύλλα, καλύπτουμε τα υπόλοιπα με μια πετσέτα να μην ξεραθούν.
Τοποθετούμε το ένα φύλλο στο πάγκο, κάθετα μπροστά μας, το βουτυρώνουμε ελαφρώς, εφαρμόζουμε το άλλο φύλλο ακριβώς από πάνω του και τα χωρίζουμε σε 3 κάθετες προς εμάς, ίσες λωρίδες.
Βάζουμε 1,5 κ.σ. από τη γέμιση, στην άκρη κάθε λωρίδας που έχουμε μπροστά μας, τις τυλίγουμε σε τρίγωνα και τα τοποθετούμε στο ταψί με το σημείο που κλείνουν προς τα κάτω, το ένα δίπλα στο άλλο.
Επαναλαμβάνουμε τα 3 τελευταία βήματα μέχρι να γεμίσουμε και τα υπόλοιπα φύλλα με τη γέμιση.
Ραντίζουμε τα τρίγωνα στο ταψί με το υπόλοιπο βούτυρο χωρίς να τα ακουμπάμε με το πινέλο. Ψήνουμε στη μέση του φούρνου, μέχρι τα φύλλα να ροδίσουν, για περίπου 35’- 40’. Βγάζουμε και αφήνουμε στην άκρη να κρυώσει για 60’.
Για το σιρόπι προσθέτουμε σε μια μικρή κατσαρόλα όλα τα υλικά για το σιρόπι και ανακατεύουμε. Από τη στιγμή που θα κοχλάσει το νερό το αφήνουμε για 5’ να σιγοβράσει και το αποσύρουμε από τη φωτιά.
Σιροπιάζουμε το κρύο γαλακτομπούρεκο με το ζεστό σιρόπι και το αφήνουμε να κρυώσει και να το απορροφήσει για 60’. Σερβίρουμε σε κομμάτια και απολαμβάνουμε.